关于“截长补短法的经典图形”如下：
截长补短法是一种常用的几何解题方法，它的核心思想是通过线的帮助，将一个多边形的长或宽进行分割，然后通过补足或截取的方式，将多边形转化为一个或几个已知的几何图形，从而解决多边形的面积、周长等问题。
以下是几个经典的截长补短法图形：
矩形ABCD中，AC、BD为对角线，延长CB至E，使CE=CA，再延长DA至F，使AF=AD。连接EF、EB，求证：EF=2BD。
这个图形可以看作是将矩形ABCD的对角线AC、BD进行了截长补短。通过延长CB至E，使CE=CA，再延长DA至F，使AF=AD，我们可以将矩形ABCD分成两个小的矩形和一个正方形。连接EF、EB后，可以发现EF其实就是两个小矩形的对角线之和，也就是2BD。
矩形ABCD中，延长CB至E，使CE=CA，连接AE、BD。求证：AE=BD。
这个图形同样是将矩形ABCD的一条对角线AC进行了截长补短，使它变成了一条与矩形的一边平行的线段。通过连接AE、BD后，可以发现AE其实就是两个小矩形的对角线之和，也就是BD。
直角三角形ABC中，延长AB至D，使BD=BC，连接CD。求证：AD=2AB。
这个图形是将直角三角形ABC的一条直角边BC进行了截长补短，使它变成了一条与斜边AB平行的线段。通过连接CD后，可以发现AD其实就是两个小直角三角形的斜边之和，也就是2AB。
这些经典的截长补短法图形都是通过巧妙地分割和转化多边形，将复杂的问题转化为简单的问题来解决。它们不仅展示了截长补短法的灵活性和实用性，也给我们带来了更多的启示和思考。
当学生拿到题目时，先不要着急解题，首先要思考需不需要添加线，千万别画蛇添足，反而把简单的问题复杂化，如果需要线，具体是连接那两个点，这些都要先思考清楚。
在添加时要考虑线是否能构造出特殊的图形和线，是否能够满足已知条件，是否能让图形更有规律可循。具体可以通过连接某两点，作某条线的垂线或平行线，截长补短，延长某条线段等方法进行添加。
如果图形当中出现角平分线和平行线时,我们可以考虑构建等腰三角形,最经典的应用就是两条线段的和等于第三条线段的经典题型做法。
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC?于M、N，
在△AMN中，AM＋AN?＞?MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
? AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC?
（法二：）如图1-2，?延长BD交?AC于F，延长CE交BF于G，
在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB＋AF＞?BD＋DG＋GF?（三角形两边之和大于第三边）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。
分析：要证BE＋CF＞EF?，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。
证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，
在△DBE和△DNE中：
∵
∴△DBE≌△DNE? （SAS）
∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF＝NF
在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。
四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF
证明：延长ED至M，使DM=DE，连接?
CM，MF。在△BDE和△CDM中，
∵
∴△BDE≌△CDM?（SAS）
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4?（已知）?∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）
∴∠3＋∠2=90°
即：∠EDF＝90°
∴∠FDM＝∠EDF?＝90°
在△EDF和△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF? （SAS） ∴EF＝MF?（全等三角形对应边相等） ∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF注：上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：?AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋?BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD
∵AD为△ABC的中线? （已知）
∴BD＝CD? （中线定义）
在△ACD和△EBD中∴△ACD≌△EBD? （SAS） ∴BE＝CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，?求证EF＝2AD。 ?
六、截长补短法作线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。
求证：AB－AC＞PB－PC。
分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，?再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，
即：AB－AC＞PB－PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN?,? 在△APN和△APC中
∵
∴△APN≌△APC?（SAS） ∴PC＝PN?（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有?PB－PN＜BN?（三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC证明：（补短法）? 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，
? 在△ABP和△AMP中
∵?
? ∴△ABP≌△AMP?（SAS）
? ∴PB＝PM? （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)
? ∴AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A?，BC⊥BD于B，? 求证：AD＝BC
分析：欲证?AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
?∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
?∴∠CAE＝∠DBE?＝90°（垂直的定义）
在△DBE与△CAE中?∵
?∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC? EB＝EA?（全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB? 即：AD＝BC。（当条件不足时，可通过添加线得出新的条件，为证题创造条件。）
八?、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC（或BD）
?∵AB∥CD? AD∥BC? （已知）
?∴∠1＝∠2，∠3＝∠4? （两直线平行，内错角相等）
在△ABC与△CDA中
?∵?
?∴△ABC≌△CDA?（ASA）
?∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E?。求证：BD＝2CE?
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到 ? 要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
?∵BE⊥CF? （已知）
?∴∠BEF＝∠BEC＝90°?（垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
∵?∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF? （全等三角形对应边相等）
?∵∠BAC=90°? BE⊥CF?（已知）?
∴∠BAC＝∠CAF＝90°? ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
?∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中
∴△ABD≌△ACF?（AAS）∴BD＝CF?（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
∵?
∴△ABC≌△DCB? (SSS)
∴∠A＝∠D? (全等三角形对应边相等)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D?求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵∴△ABN≌△DCN? （SAS）
? ∴∠ABN＝∠DCN ?NB＝NC?（全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM，(SSS)?∴∠NBC＝∠NCB?（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN?＝∠NCB＋∠DCN
即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1.?如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。
解：过点D作DG//AC，交BF于点G ?所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3
所以BD：BC＝1：4
即DG：FC＝1：4，FC＝4DG因为DG：AF＝DE：AE?
又因为AE：ED＝2：3
所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2.?如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC
因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2
因为CG：DE＝BC：BD ?
又因为BC＝CD所以BC：BD＝1：2 ? CG：DE＝1：2 即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝
小结：以上两例中，线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3.?如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。
解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3
所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4
因为AF：BG＝AE：EB ?
又因为AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即
所以AF：DF＝
例4.?如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。
图4
解：过点D作DG//CE，交AB于点G
所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2
即EF：DG＝1：2
因为DG：CE＝BD：BC
又因为BD：CD＝1：3
所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4
CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
练习：
1.?如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
2.?如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
答案：1.?1：10；2.?9：1
常见线的方法：（最常见的就是连接特殊两点，作垂线和平行线(中位线)等）
1）
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2）
遇到三角形的中点或中线，可作中位线或倍长中线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。必要时也可直接旋转。
3）
遇到角平分线，可以在角平分线上一点像角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4）
截长补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定的线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明。这种方法适合于证明线段的和，差，倍，分等类的题目。
5）
等面积法：利用三角形（或其他图形）面积不同求法来解决线段之间的问题。
6）
遇到线段的垂直平分线，连接线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
7）
遇到直角三角形，作直角三角形斜边上的中线。
8）
在有特殊角的情况下，考虑作等边三角形
在初中数学几何学习中，如何添加线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因线的添加方法不当，造成解题困难。以下是常见的线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀。 都说几何难，难就难在线。线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径***端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。线，是虚线，画图注意勿改变。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 1、角平分线：因为角平分线是是轴对称图形，所以基本上有以下两种 （1）角平分线那边有什么，另一部分也有什么 （2）如果在角平分线上有一个直角，则要延长补全成等腰三角形 2.中垂线。 见到中垂线，立即聊该线段的两端点，补全成等腰三角形。 往往，中出现也意味着中点 3.中点要想到 （1）直角三角形斜边中线为斜边一半 （2）中位线 （3）中线 4。中线：倍长中线
线：延长AD至E，使得DC=DE（从而由∠ADC=120度，有∠CDE=60度，又由DC=DE，故ΔDCE为正三角形）；
1.由ΔABC为正三角形，有AC=BC；
2.由ΔDCE为正三角形，有EC=DC
3.由ΔABC、ΔDCE均为正三角形，故∠ACB=∠DCE=60度，故∠DCB=∠ECA；
综合1.2.3.有ΔBDC≌ΔAEC，从而BD=AE=AD+DE=AD+CD，证毕。
全等概念：
若两个几何图形的形状相同，大小相等，则称这两个图形是全等的图形。全等是相似的一种特例。当相似比为1时，两图形全等。
证明：
取AB中点E，连接DE
∵AD=BD
∴DE⊥AB，即∠AED=90?等腰三角形三线合一
∵AB=2AC
∴AE=AC
又∵∠EAD=∠CADAD平分∠BAC
AD=AD
∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）
∴∠C=∠AED=90?
∴CD⊥AC
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线构造三角形最简便的方法，就是当存在两条边时，可以连接两个端点，形成第三条边，从而构建三角形。例如在特殊四边形（如梯形、矩形等）中可以连接对角线，利用对角线的相关性质进行解题。 扩展资料
线构造三角形的方法
1、连接两点。
线构造三角形最简便的方法，就是当存在两条边时，可以连接两个端点，形成第三条边，从而构建三角形。例如在特殊四边形（如梯形、矩形等）中可以连接对角线，利用对角线的相关性质进行解题。
2、截长补短法。
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。这个方法常用于解决线段的和差问题。
线构造全等三角形
除了构造普通三角形，利用三角形的相关性质，在涉及线段长度的计算和证明题中，我们还可以通过构造全等三角形，形成新的边长关系。
3、角平分线。
角平分线有三种添线的方法：可以自角平分线上的.某一点向角的两边作垂线，根据角平分线到两边距离相等的性质，可以得到两个全等的直角三角形；可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4、倍长中线法。
通过延长线段至于某段线段相等，或取线段的中点来构造全等的三角形，揭示图形中隐含性质，聚拢集中已知条件。
